1. 数组中重复的数字

1.1. 题目一：找出数组中重复的数字。

在一个长度为n的数组里的所有数字都在0~n-1的范围内。数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字重复了，也不知道每个数字重复了几次。请找出数组中任意一个重复的数字。例如，如果输入长度为7的数组{2,3,1,0,2,5,3}，那么对应的输出是重复的数字2或者3。

解决这个问题的一个简单的方法是先把输入的数组排序。从排序的数组中找出重复的数字是一件很容易的事情，只需要从头到尾扫描排序后的数组就可以了。排序一个长度为n的数组需要O(nlogn)的时间。

还可以利用哈希表来解决这个问题。从头到尾按顺序扫描数组的每个数字，每扫描到一个数字的时候，都可以用O(1)的时间来判断哈希表里是否已经包含了该数字。如果哈希表里还没有这个数字，就把它加入哈希表。如果哈希表里已经存在该数字，就找到一个重复的数字。这个算法的时间复杂度是O(n)，但它提高时间效率是以一个大小为O(n)的哈希表为代价的。我们再看看有没有空间复杂度是O(1)的算法。

我们注意到数组中的数字都在0~n-1的范围内。如果这个数组中没有重复的数字，那么当数组排序之后数字i将出现在下标为i的位置。由于数组中有重复的数字，有些位置可能存在多个数字，同时有些位置可能没有数字。

现在让我们重排这个数组。从头到尾依次扫描这个数组中的每个数字。当扫描到下标为i的数字时，首先比较这个数字（用m表示）是不是等于i。如果是，则接着扫描下一个数字；如果不是，则再拿它和第m个数字进行比较。如果它和第m个数字相等，就找到了一个重复的数字（该数字在下标为i和m的位置都出现了)；如果它和第m个数字不相等，就把第i个数字和第m个数字交换，把m放到属于它的位置。接下来再重复这个比较、交换的过程，直到我们发现一个重复的数字。

以数组{2,3,1,0,2,5,3}为例来分析找到重复数字的步骤。数组的第0个数字（从0开始计数，和数组的下标保持一致）是2，与它的下标不相等，于是把它和下标为2的数字1交换。交换之后的数组是{1,3,2,0,2,5,3}。此时第0个数字是1，仍然与它的下标不相等，继续把它和下标为1的数字3交换，得到数组{3,1,2,0,2,5,3}。接下来继续交换第0个数字3和第3个数字0，得到数组{0,1,2,3,2,5,3}。此时第0个数字的数值为0，接着扫描下一个数字。在接下来的几个数字中，下标为1、2、3的3个数字分别为1、2、3，它们的下标和数值都分别相等，因此不需要执行任何操作。接下来扫描到下标为4的数字2。由于它的数值与它的下标不相等，再比较它和下标为2的数字。注意到此时数组中下标为2的数字也是2，也就是数字2在下标为2和下标为4的两个位置都出现了，因此找到一个重复的数字。

上述思路可以用如下代码实现：

// 参数:
//        numbers:     一个整数数组
//        length:      数组的长度
//        duplication: (输出) 数组中的一个重复的数字
// 返回值:             
//        true  - 输入有效，并且数组中存在重复的数字
//        false - 输入无效，或者数组中没有重复的数字
bool duplicate(int numbers[], int length, int* duplication)
{
    if(numbers == nullptr || length <= 0)
        return false;

    for(int i = 0; i < length; ++i)
    {
        if(numbers[i] < 0 || numbers[i] > length - 1)
            return false;
    }

    for(int i = 0; i < length; ++i)
    {
        while(numbers[i] != i)
        {
            if(numbers[i] == numbers[numbers[i]])
            {
                *duplication = numbers[i];
                return true;
            }

            // 交换numbers[i]和numbers[numbers[i]]             
            int temp = numbers[i];
            numbers[i] = numbers[temp];
            numbers[temp] = temp;
        }
    }

    return false;
}

在上述代码中，找到的重复数字通过参数duplication传给函数的调用者，而函数的返回值表示数组中是否有重复的数字。当输入的数组中存在 重复的数字时，返回true；否则返回false。代码中尽管有一个两重循环，但每个数字最多只要交换两次就能找到属于它自己的位置，因此总的时间复杂度是O(n)。另外，所有的操作步骤都是在输入数组上进行的，不需要额外分配内存，因此空间复杂度为O(1)。

剑指 Offer P39，本题完整的源代码：https://github.com/zhedahht/CodingInterviewChinese2/tree/master/03_01_DuplicationInArray